Paris 1789 - Sceaux 1857

Tình hình chính trị của nước Pháp cuối thế kỷ XVIII (gần Cách mạng dân chủ tư

sản Pháp 1789) khá phức tạp, gia đình CAUCHY muốn yên thân nên dời đến

Arcueil (ngoại ô, phía Nam Paris) và chính nhờ đó mà cậu bé Augustin-Louis mới

có dịp được gặp hai nhà Khoa học nổi tiếng thời bấy giờ là LAPLACE (Toán) và

BERTHOLLET (Hoá). Là một học sinh xuất sắc, Augustin-Louis và Đại học Bách

khoa lúc mới 16 tuổi. Khi đã trở thành kỹ sư quân sự, CAUCHY làm việc ở pháo

đài cảng Cherbourg thời nước Pháp bị phong tỏa. Tuy vậy, CAUCHY vẫn dành thì

giờ nghiên cứu Toán. Ông vẫn trao đổi với LAGRANGE về vấn đề hình đa diện

(số cạnh, số mặt, số đỉnh). Khi CAUCHY trở về Paris, LAGRANGE khuyên ông

nên đi hẳn về Toán. Năm 1816 ông được bổ nhiệm làm Giáo sư trường Đại học

Khoa học Paris, trường Đại học Bách khoa và Collège de France (Học viện cao cấp

của nước Pháp). Cùng năm ấy ông được cử vào Viện hàn lâm Khoa học Pháp thay

cho MONGE bị thôi việc vì lý do chính trị. Thời bấy giờ có sự biến động trong

cung đình vua chúa nước Pháp. Có sự tranh giành ngôi thứ. Dòng chính Bourbons

bị phế và Dòng Orléans lên thay, vua Louis-Philippe không được xem là chính

thống nên bị những người theo phái chính thống không phục. CAUCHY là môn đồ

trung thành của phái chính thống nên bị bắt buộc phải trung thành với vua Louis-

Philippe vừa lên ngôi. Trường Đại học Turin của Ý nhân dịp này mời ông đảm

nhiệm chức Chủ nhiệm Bộ môn Vật lý - Toán của trường (là bộ môn lập nên cho

riêng CAUCHY dạy). Nhưng ông nhậm chức không lâu. Năm 1833 ông từ biệt nó

để sang Prague (Tiệp) gặp Bá tước CHAMBORD, cũng là một môn đồ của phái

chính thống bị lưu đày ở đó. Ông giúp Bá tước chăm lo việc giáo dục. Năm 1838

ông được phục hồi chức Giáo sư trường Đại học Bách khoa và ông dạy ở đó cho

đến khi mất. Bạn bè thường phật ý vì ông quá bên vực cho ý tưởng chính thông của

ông. Công trình nghiên cứu của CAUCHY thật đồ sộ, nhất là về Giải tích. Chính

ông là một trong những người góp phần quan trọng làm cho môn Giải tích Toán

học có bộ mặt đẹp đẽ như ngày nay. Nhưng thực ra trong các lĩnh vực của Toán

học, gần như ở đâu cũng có sự đóng góp quan trọng của ông, đặc biệt là Hàm

chỉnh hình, Phương trình vi phân, Lý thuyết nhóm và Đại số tuyến tính. Về Vật

lý, ông đặt cơ sở Toán học cho Lý thuyết đàn hồi và ông có công trình đang còn ở

dạng mới phác thảo, chưa chắc chắn. Do RUFFINI và LAGRANGE gợi ý, nên

năm 1815, trong một công trình quan trọng của ông về các nhóm thế (groupes de

substitutions) ông chứng minh rằng chỉ số của một nhóm con của nhóm đối xứng

ζn là 1 hoặc 2, hoặc bằng số nguyên tố lớn nhất bé hơn hay bằng n. Năm 1846, ông

trở lại Lý thuyết phương trình mà những kết quả của GALOIS chưa được biết đến.

Ông chứng minh rằng mọi nhóm con của phép thế mà chỉ số chia hết cho một số

nguyên tố p chứa ít nhất một nhóm con bậc p. Ông còn đưa ra một định nghĩa của

trường các số phức bằng các lớp tương đương của các đa thức có hệ số thực

modulo X2 + 1 .

CAUCHY là người đầu tiên đưa ra Lý thuyết về Định thức một cách có hệ thống

và khá hiện đại. Ông cải tiến phương pháp của LAPLACE về phép tính các định

thức. Ông cũng quan tâm đến viẹc giản ước các dạng toàn phương 3 biến (1826) và

chứng tỏ rằng phương trình đặc trưng (ngày nay ta gọi là đa thức đặc trưng) phối

hợp là bất biến qua phép thay đổi cơ sở trực chuẩn (base orthonormale) và chứng

tỏ rằng mọi định thức thực đối xứng có nghiệm đặc trưng hực. Năm 1826

CAUCHY đưa ra định nghĩa định thức đồng dạng và chứng tỏ rằng chúng có cùng

nghiệm đặc trưng. Ông cũng có công trình về chùm dạng toàn phương. Nhưng cuối

cùng thì ở lĩnh vực Giải tích Toán học ông vẫn nổi tiếng hơn cả. Luôn luôn quan

tâm đến vấn đề chặt chẽ hóa trong môn học này, ông đưa ra khái niệm chính xác về

liên tục và tích phân. Mặc dù ông luôn tìm cách chính xác hóa khái niệm hội tụ

nhưng ông vẫn chưa để ý đến khái niệm liên tục và hội tụ đều. Phải chờ đến Karl

Theodor Wilhelm WEIERSTRASS (1815 - 1897) với việc xây dựng trường số

thực thành công tốt đẹp thì Giải tích Toán học mới được công nhận là hoàn toàn

chặt chẽ được.

Giữa những năm 1820 - 1830, CAUCHY nghiên cứu Phương trình vi phân. Ông là

người đầu tiên chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Để làm việc này ông

dùng hai phương pháp: phương pháp xấp xỉ liên tiếp (cách này cần đến tính hội tụ)

và phương pháp hàm tăng (majorant).

Bằng cách đặt z = x + ij ông nghiên cứu cách tính tích phân của hàm phức, biến

phức. Ông dùng một đường nối hai cực và chứng tỏ rằng kết quả không phụ thuộc

và cách chọn đường (1825). Ông để ý đến trường hợp hàm gián đoạn, đặc biệt là

hàm có một cực, và điều này đưa ông tới kết quả là chứng minh được định lý về