Các bài PT Lượng giác - Website Toán học

Gốc > Bài viết chuyên đề > Đại số-Giải tích >

Tạo bài viết mới Các bài PT Lượng giác

Bài 1 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình : $\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{sin (x - \frac{{3\pi }}{2})}} =4\sin (\frac{{7\pi }}{4} - x)$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Ta có:

$\sin (x - \frac{{3\pi }}{2}) = \sin \left[ {(x + \frac{\pi }{2}) -2\pi } \right] = \sin (x + \frac{\pi }{2}) = \cos x$ .

$\sin (\frac{{7\pi }}{4} - x) = \sin \left[ {2\pi - (x + \frac{\pi}{4})} \right] = - \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2}}\left( {\sin x + \cos x} \right)$

Nên phương trình đã cho $\Leftrightarrow \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} = - 2\sqrt2 (\sin x + \cos x)$

$\Leftrightarrow \frac{(sin x + cos x)(\sqrt 2 \sin 2x +1)}{sinx.cosx} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0 \\ \sin2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi }{8} + k\pi ;{\rm{ }}x = - \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \\\end{array} \right.$

___________________________________________________________________________________

Bài 2 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình : $3cos 4x - 8cos ^6 x + 2cos ^2 x + 3 = 0$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Ta có: $cos4x=2cos^2x-1=2(2cos^2x-1)^2-1=8cos^4x-8cos^2x+1$

Nên phương trình đã cho $\Leftrightarrow 4cos^6x-12cos^4x+11cos^2x-3=0$

Đặt $t=cos^2x, 0 \leq t \leq 1$ . Ta có: $4t^3-12t^2+11t-3=0$

$\Leftrightarrow \left[ t=1 \\ t=\frac{1}{2}$ .

Từ đây ta tìm được các nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}; x = k\pi$

________________________________________________________________________________

Bài 3 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình : $cos3x+cos2x-cosx-1=0$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

$PT \Leftrightarrow 4\cos ^3 x - 3\cos x + (2\cos ^2 x - 1) - \cos x- 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos ^3 x + \cos ^2 x - 2\cos x - 1 = 0$

Đặt $t = \cos x,{\rm{ }}\left| t \right| \le 1$ .

Ta có: $2t^3 + t^2 - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow (t^2 - 1)(2t + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \pm 1 \\ t = -\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Từ đây các bạn tìm được $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ; x = k\pi$

_________________________________________________________________________________

Bài 4 ( Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình : $2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

PT $\Leftrightarrow 4\sin x\cos ^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + 2\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x(2\cos x + 1) = 2\cos x + 1$

$\Leftrightarrow (2\cos x + 1)(\sin 2x - 1) = 0 \Leftrightarrow\left[ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ .

________________________________________________________________________________

Bài 5 (Thầy Nguyễn Tất thu)

Giải phương trình: $sin 2x.cos 3x = sin 5x.cos 6x$ .

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin 5x - \sin x} \right] =\frac{1}{2}\left[ {\sin 11x - \sin x} \right]$

$\Leftrightarrow \sin 5x = \sin 11x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{6} \\ x = \frac{\pi }{{16}} +k\frac{\pi }{8} \\ \end{array} \right.$

________________________________________________________________________________

Bài 6 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$ .

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Phương trình $\Leftrightarrow (\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = (\cos x + \cos 3x) +\cos 2x$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\Leftrightarrow (2\cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - \frac{1}{2} \\\sin 2x = \cos 2x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

________________________________________________________________________________

Bài 7 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình $\sin ^2 \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\tan ^2 x -\cos ^2 \frac{x}{2} = 0$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Điều kiện : $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ .

Phương trình $\Leftrightarrow \left[ {1 - \cos (x - \frac{\pi }{2})}\right]\frac{{\sin ^2 x}}{{\cos ^2 x}} - (1 + \cos x) = 0$

$\Leftrightarrow (1 - \sin x)\frac{{\sin ^2 x}}{{1 - \sin ^2 x}} - (1+ \cos x) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin ^2 x}}{{1 + \sin x}} - (1 + \cos x) = 0\Leftrightarrow (1 - \cos ^2 x) - (1 + \cos x)(1 + \sin x) = 0$

$\Leftrightarrow (1 - \cos x)(\cos x - \sin x) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \tan x = 1 \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x =\frac{\pi }{4} + k\pi \\ \end{array} \right.$ .

_________________________________________________________________________________

Bài 8 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình $5\sin x - 2 = 3( 1 - sin x)tan ^2 x$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Đk: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ .

Phương trình $\Leftrightarrow 5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x)\frac{{\sin ^2 x}}{{\cos^2 x}}$

$\Leftrightarrow 5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x)\frac{{\sin ^2 x}}{{1 -\sin ^2 x}}$

$\Leftrightarrow 5\sin x - 2 = 3\frac{{\sin ^2 x}}{{1 + \sin x}}\Leftrightarrow (5\sin x - 2)(1 + \sin x) = 3\sin ^2 x$

$\Leftrightarrow 2\sin ^2 x + 3\sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\ \end{array} \right.$

________________________________________________________________________________

Bài 9 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình: $\cos ^4 x + \sin ^4 x + \cos (x - \frac{\pi }{4})\sin (3x -\frac{\pi }{4}) - \frac{3}{2} = 0$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Ta có: $\sin ^4 x + c{\rm{os}}^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin ^2 2x$ .

$\sin (3x - \frac{\pi }{4})\cos (x - \frac{\pi }{4}) =\frac{1}{2}\left[ {\sin (4x - \frac{\pi }{2}) + \sin 2x} \right] =\frac{1}{2}\left( { - \cos 4x + \sin 2x} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {2\sin ^2 2x + \sin 2x - 1} \right)$

Nên phương trình $\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}\sin ^2 2x + \frac{1}{2}\left({2\sin ^2 2x + \sin 2x - 1} \right) - \frac{3}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \sin ^2 2x + \sin 2x - 2 = 0$ .

$\Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} +k\pi$ .

________________________________________________________________________________

Bài 10 (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình: $3\cot ^2 x + 2\sqrt 2 \sin ^2 x = (2 + 3\sqrt 2 )\cos x$ .

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Đk: $x \ne k\pi$ Phương trình $\Leftrightarrow \frac{{3\cos ^2 x}}{{\sin ^2 x}} + 2\sqrt 2 \sin ^2x = (2 + 3\sqrt 2 )\cos x$

$\Leftrightarrow 3\cos ^2 x - 3\sqrt 2 \sin ^2 x.\cos x + 2\sqrt 2\sin ^4 x - 2\sin ^2 x\cos x = 0$

$\Leftrightarrow (\cos x - \sqrt 2 \sin ^2 x)(3\cos x - 2\sin ^2 x)= 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt 2 \cos ^2 x + \cos x -\sqrt 2 = 0 \\ 2\cos ^2 x + 3\cos x - 2 = 0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{{ - 1 +\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \arccos \frac{{\sqrt6 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\end{array} \right.$ .

________________________________________________________________________________

Bài 11 (Thầy Nguyễn Tất thu)

Giải PT: $2 \sqrt{2}cos^3(x-\frac{\pi}{4})-3cosx-sinx=0$

Lời giải ( Cô Nguyễn Thị Thỏa)

Phương trình đã cho tương đương với:

$2\sqrt{2}co s^{3}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4} \right)-2cosx=0$ .

Đặt $t=x-\frac{\pi }{4}$ . Phương trình trở thành:

$2\sqrt{2}cos^3t-\sqrt{2}cost-2cos\left(t+\frac{\pi }{4} \right)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}cost\left(1-sin^2t\right)-\sqrt{2}cost-\sqrt{2}\left(cost -sint \right)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}cost sin^2t + \sqrt{2}sint=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}sint\left(sin2t+1 \right)=0$

hoặc sin $2t = -1$

$\Leftrightarrow t=k\Pi$ hoặc $t=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$ .

Do đó: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi$ . $\left(k\epsilon Z \right)$ .

________________________________________________________________________________

Bài 12 ( Thầy Nguyễn Tất Thu)

Giải phương trình: $4\cos ^2 x + 3\tan ^2 x - 4\sqrt 3 \cos x + 2\sqrt 3 \tan x + 4 =0$

Lời giải (Thầy Nguyễn Tất Thu)

Phương trình $\Leftrightarrow 4\cos ^2 x - 4\sqrt 3 \cos x + 3 + 3\tan ^2 x +2\sqrt 3 \tan x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (2\cos x - \sqrt 3 )^2 + (\sqrt 3 \tan x + 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x = \frac{{\sqrt 3}}{2} \\ \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in$

________________________________________________________________________________

Bài 13 (Nguyễn Văn Năm)

Giải phương trình: $2\sin 2x - 3\sqrt 2 \sin x + \sqrt 2 \cos x - 5 = 0$

Lời giải (Nguyễn Văn Năm)

Ta có: Phương trình $\Leftrightarrow 2\sin 2x - 2\sqrt 2 \sin x + 2\sqrt 2 \cos x - 3 -\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 5 = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 2 \left( {\sin x - \cos x}\right) - \frac{3}{2} - \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1$
$\Leftrightarrow 1 - {t^2} - \sqrt 2 t - \frac{3}{2} - \sin \left( {x+ \frac{\pi }{4}} \right) - 1$ với $t= sinx+cosx; \[\left| t \right| \le \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {\left( {t + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} +\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \\ \end{matrix} \right$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2} \\ \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \\ \end{matrix} \right$ . $\Rightarrow$ PTVN